Заметим, что во вводных главах книги Вы не найдёте упоминаний о лемме Бореля — Лебега. Лемма формулируется гораздо позже, в главах, посвящённых функциям многих переменных.
Между тем, основываясь на лемме, можно предложить новые пути доказательства целого ряда основных теорем о непрерывных функциях: сравните Фихтенгольц, глава II, §5, 89.

Глава I, §5. Определение предела функции.

Отметим два существенных отличия предела в понимании Л. Д. Кудрявцева от предела в определениях других авторов.
Ниже приводим один из вариантов определения Коши в формулировке Л. Д. Кудрявцева:
Точка a называется пределом функции f: X → R при x → x₀, если для любой окрестности U(a) точки a существует такая окрестность U(x₀ ) точки x₀, что для любой точки x ∈ X ∩ U(x₀ ) выполняется включение f(x) ∈ U(a).
Отсюда видно, что 1) Автор не требует, чтобы x ≠ x₀, т. е., не ограничивается проколотой окрестностью x₀; и 2) не требует, чтобы точка x₀ была предельной точкой (точкой сгущения по терминологии Г. М. Фихтенгольца), и даже точкой прикосновения множества X.
Таким образом, если мы рассмотрим функцию f, f(0)=1, f(x) = x при x ≠ 0, то увидим, что f не имеет предела в точке 0. Далее, для множества X = {x ∈ R | x = 0 ∨ |x| ≥ 1} и функции f', f'(0)=1, f'(x) = |x| при x ≠ 0 и даже для множества X = {x ∈ R | |x| ≥ 1} и функции f'', f''(x) = |x| в точке 0 существует предел.

стр. 100

Упражнение 8 (простенькое).
Грубо говоря, нам предлагают доказать, что всякая последовательность, построенная из всех натуральных чисел, является бесконечно большой. Моя идея доказательства такова. Для любого a существует k_a = sup (k: n_k ≤ a). Ясно, что ∀k > k_a, n_k > a, что и означает по определению, что предел равен ∞.

стр. 102

примечание 1.
Заметим здесь, что многие авторы используют термин "возрастающая" ("убывающая") последовательность только в применении к последовательностям, для которых выполнено условие: x_n>x_n−1 (соответственно, x_n<x_n−1 ), а "неубывающими" ("невозрастающими") называют последовательности, являющиеся возрастающими (убывающими) либо стационарными.

стр. 108

Упражнение 12. Условие эквивалентно критерию Коши. Действительно, покажем необходимость; если последовательность сходится, то существует n′_?, такое что ∀n, m ≥ n′_?, |n−m|≤ ε; положим n_? = n′_? +1. Достаточность условия следует из неравенства треугольника.

стр. 109

Задача 3. Не следует. Пусть x_n = x_n−1 + 1/n; как известно, гармонический ряд расходится.

стр. 110

Задача 4. Обобщая понятие суммы для бесконечного числа слагаемых, приходим к понятию ряда; Достаточно рассмотреть произвольную бесконечно малую последовательность и просуммировать ее с собой бесконечно много раз. Более интересная задача состоит в построении последовательности бесконечно малых последовательностей, сумма которой сходится к нулю.
Задача 5. Обозначим через x ^m_n n-ный член m-ной последовательности. Определим n-ную последовательность следующим образом: xⁿ₁ =...= xⁿ_n-1 =1; xⁿ_n = 1/(x _n¹·x _n²·...x _nⁿ⁻¹). Произведение всех построенных таким образом бесконечно малых последовательностей есть стационарная последовательность 1, 1, 1,... .

§5.12, пример 4.

Приведённое Автором доказательство непрерывности функции Римана мы считаем несостоятельным.

§5.16, замечание 4.

Подчеркнём важность условия ; нетрудно видеть, что это условие справедливо для любой непрерывной функции, но в общем случае может не выполняться.

Ссылки на страницы изд. 1988 года.

Замечания по терминологии.

Последовательность. Под «последовательностью» Автор понимает упорядоченное множество, не имеющее наибольшего элемента.
Предел последовательности. Термину «предел последовательности» у Автора в общепринятой терминологии соответствует «частичный предел последовательности».